Heisenbergin epätarkkuusperiaate ja kuinka se on johdetaan – hiukkasen paikka ja liikemäärä ym. hauskaa fotoneista

Ollakko vai eikö olla?

Heisenbergin epätarkkuusperiaate on siitä hauska, että se on yksi kvanttimekaniikan perusperiaatteista, ja sen kaavat voidaan johtaa kvanttimekaniikan matemaattisista perusteista. Periaate perustuu kommutaattoriin eli kahden operaattorin tulon vaihtamattomuuteen. 

Tässä on yksinkertainen kuvaus, kuinka Δx * Δp ≥ ħ/2 johdetaan:

Aloitetaan klassisesta mekaniikasta ja sen perusperiaatteista. Klassisessa mekaniikassa hiukkasen paikka (x) ja liikemäärä (p) voidaan ilmaista seuraavasti:

• Paikka (x) = x₀ * vt
• Liikemäärä (p) = m * v

Kvanttimekaniikassa nämä fysikaaliset ominaisuudet esitetään operaattoreina, joita merkitään yleensä ^-merkillä. Hiukkasen paikan operaattori (X) ja liikemäärän operaattori (P) voidaan ilmaista seuraavasti:

• Paikan operaattori (X) = x
• Liikemäärän operaattori (P) = -iħ ∇, missä ∇ on gradienttioperaattori ja ħ on reduktoitu Planckin vakio.

Nyt voimme laskea näiden operaattoreiden kommutaattorin [X, P], joka ilmaisee näiden operaattorien vaihtamattomuuden (tai kommutaation):

• [X, P] = XP – PX

Lasketaan kommutaattori [X, P] ja huomataan, että se on yhtä suuri kuin reduktoitu Planckin vakio ħ kertaa yksikkömatriisi I (koska kommutaattorin arvo on vakio):

• [X, P] = XP – PX = (x * (-iħ ∇) – (-iħ ∇) * x) = iħI

Heisenbergin epätarkkuusperiaate liittyy kommutaattorin [X, P] ja sen odotusarvojen (keskiarvojen) Δx ja Δp kautta. Odotusarvo tarkoittaa, että lasketaan operaattorin odotusarvo kvanttimekaniikan tilan 𝛹 suhteen, ja Δx ja Δp ilmaisevat paikan ja liikemäärän epätarkkuudet. Näitä odotusarvoja voidaan laskea seuraavasti:

• Δx = √(<(X – <X>)²>)
• Δp = √(<(P – <P>)²>)

Heisenbergin epätarkkuusperiaate on määritelty seuraavasti, käyttäen kommutaattoria:

• [X, P]: Δx * Δp ≥ ħ/2

Tämä periaate osoittaa, että hiukkasen paikan ja liikemäärän epätarkkuus ovat kvanttimekaniikassa yhteydessä toisiinsa, ja niiden tulo ei voi koskaan olla pienempi kuin reduktoitu Planckin vakio ħ/2. Tämä tulos on yksi kvanttimekaniikan keskeisistä piirteistä ja kuvastaa epätarkkuuden periaatetta, joka liittyy hiukkasten käyttäytymiseen kvanttimaailmassa.

Heisenbergin epätarkkuusperiaate pätee myös fotoneille. Tämä tarkoittaa, että emme voi tietää samanaikaisesti tarkasti fotonin paikkaa ja sen liikemäärää. Tämä ei ole rajoitettu pelkästään hiukkasiin vaan koskee kaikkia kvanttimekaniikan järjestelmiä.

Mutta liittyykö tämä ilmastonmuutoskeskusteluun: Mielestäni kyllä, vaikka isossa kuvassa ilmastonmuutos alkaa olla jo hyvin pitkälle ratkaistu, mutta  joka yhä tarkentuu.

Sarjassamme hölmöjä kysymyksiä 1.

Kun IR-fotoneja virtaa CO₂ -molekyyleihin (mikä vastaa luonnossa olevaa tilannetta) ja kun ne absorboituvat, mistä voi tietää niiden järjestyksen ts. mikä IR-fotoneista absorboitui CO₂ -molekyyleihin ensin ja mikä viimeisenä?

Kun useita IR-fotoneja virtaa CO₂ -molekyyleihin ja ne absorboituvat, ei ole mahdollista tietää niiden järjestystä tai selvittää, mikä fotoneista tuli ensin ja mikä viimeisenä. Kvanttimekaniikan periaatteet, erityisesti superpositio ja mittausten periaate selittävät tämän:

• Superpositio: Kvanttimekaniikan mukaan fotoni voi olla superpositiossa useissa eri energiatiloissa samanaikaisesti. Tämä tarkoittaa, että yhdellä hetkellä ei ole yhtä määritettyä energiaa ja siten ei ole yhtä määritettyä järjestystä, jossa fotoneja absorboituu.
• Mittausten periaate: Kun mittaus tehdään, fotoni vuorovaikuttaa mittaavan laitteen kanssa, ja sen energiatila ”romuttuu” yhteen tiettyyn tilaan. Tämä mittaus tapahtuu satunnaisesti, eikä se liity aikaisempien fotonien absorptioon.

Tämä tarkoittaa, että jokaisen IR-fotonin absorptio on itsenäinen tapahtuma, ja fotonien järjestystä ei voi selvittää mittauksen jälkeen. Tämä ominaisuus pätee kvanttimekaniikan perusteiden mukaisesti, ja se koskee kaikkia IR-fotoneja, jotka vuorovaikuttavat CO₂ -molekyylien kanssa.

Yleisesti ottaen kvanttimekaniikan periaatteet tuovat esiin epämääräisyyden ja satunnaisuuden näkökulman mikroskooppisissa ilmiöissä, kuten fotonien absorptiossa. Näin ollen ei ole mahdollista tietää, missä järjestyksessä fotoneja molekyyleihin absorboituu. Ainoa asia jonka voi ennustaa on se, että ne voivat vuorovaikuttaa ja absorboitua satunnaisesti eri aikoina.

Miten Heisenbergin epätarkkuusperiaate tähän liittyy?

Heisenbergin epätarkkuusperiaate ei liity suoraan fotonien järjestyksen selvittämiseen tai siihen, mikä IR-fotoneista absorboitui ensimmäisenä CO₂ -molekyyleihin ja mikä viimeisenä. Heisenbergin epätarkkuusperiaate koskee pikemminkin tietyn hiukkasen paikan ja liikemäärän tarkkuuden samanaikaista mittaamista.

IR-fotonien absorptio CO₂ -molekyyleihin on kvanttimekaaninen ilmiö, joka noudattaa todennäköisyyksiin perustuvia lakeja. Kvanttimekaniikassa ei ole tarkkaa järjestystä sille, mikä fotoni tulee ensin ja mikä viimeisenä, koska fotoneilla ei ole kiinteää järjestystä tai ”nimilappuja,” jotka merkitsevät niiden saapumisjärjestystä.

Kvanttimekaniikka ja siihen liittyvät periaatteet, kuten Heisenbergin epätarkkuusperiaate, selittävät monia ilmiöitä atomi- ja molekyylitasolla, mutta ne eivät tarjoa tietoa fotonien absorptiojärjestyksestä, koska fotonit ovat kvanttimekaniikan kannalta erityinen tapaus ja niiden vuorovaikutus tapahtuu todennäköisyyksinä. Järjestykseen liittyvä tieto puuttuu, koska fotoneilla ei ole paikkaa tai liikemäärää. Sen sijaan fotoneita kuvataan aaltofunktioiden avulla, jotka kuvaavat niiden tilannetta tietyllä energiatasolla.

Sarjassamme hölmöjä kysymyksiä 2.

Kun IR-fotoneja virtaa CO₂ -molekyyleihin (mikä vastaa luonnossa olevaa tilannetta) ja kun ne absorboituvat, mistä voi tietää niiden järjestyksen ts. mikä IR-fotoneista absorboitui CO₂ -molekyyleihin ensin ja mikä viimeisenä, ja mikä niistä emittoitui ensin ja viimeisenä?

IR-spektroskopia

IR-spektroskopia antaa tietoa molekyylien värähtelysiirtymistä ja niihin liittyvistä energiatasoista, mutta se ei anna tietoa yksittäisten IR-fotonien absorption tai emission järjestyksestä. IR-fotonien käyttäytyminen kvanttitasolla on luonnostaan ​​todennäköistä, ja spektroskooppiset tekniikat käsittelevät tilastollisia keskiarvoja suurella määrällä CO₂ -molekyylejä.

Kvanttimekaniikka siis kuvaa sähkömagneettisen säteilyn interaktiota aineen kanssa todennäköisyysperiaatteella. Kun IR-säteily vuorovaikuttaa CO₂ -molekyylien kanssa, elektronit saavat energiaa ja voivat siirtyä korkeammille energiatasoille. Nämä elektronien energiatasot ovat kvantittuneita, eli ne voivat olla tietyissä diskreeteissä arvoissa. Kun elektroni (tai elektronit) putoavat takaisin alhaisemmalle energiatasolle, ne voi säteillä energiaa pois fotonien muodossa, joka vastaa eroa näiden energiatasojen välillä. Tämä emittoitunut fotonien energia voi vastata aikaisemmin absorboituneiden fotonien energiaa, mutta meillä ei ole keinoa seurata yksittäisten fotonien järjestystä.

Koska kvanttimekaniikka toimii stokastisesti ja perustuu todennäköisyyksiin, emme voi tarkkaan määrittää, mikä IR-fotoneista tuli ensin tai viimeisenä absorptio- tai emissiotapahtumassa. Sen sijaan voimme kuvailla näitä prosesseja todennäköisyysjakaumien ja keskiarvojen avulla, mutta emme voi tietää yksittäisten fotonien tarkkaa järjestystä tai aikajärjestystä.

Mutta sehän on ollutkin jo tiedossa, että CO₂ -molekyylit alkavat värähtelemään (energiaa siirtyy), kun niihin absorboituu IR-fotoneja, jolloin ilmakehä lämpenee. Toinen tekijä joka myötävaikuttaa ilmakehän lämpenemiseen – vaikka yksittäiseen CO₂ -molekyyliin osuisi IR-fotoni-, on CO₂ -molekyylien keskinäinen vuorovaikutus, jos ne ovat toistensa suhteen kontaktissa, myös viereinen CO₂ -molekyyli alkaa värähtelemään. Näin ollen kun IR-fotoneja ja CO₂ -molekyylejä on riittävästi, ilmakehän lämpötilassa tapahtuu voimakkaampi nousevan lämpötilan trendi.