Ilmastomallit – Navier Stokes yhtälöt

Mihin ilmastomallit perustuvat ja kuinka tarkkoja ne ovat?

Voidaan sanoa, että ilmastomallit perustuvat matematiikkaan. Koska ilmastojärjestelmä on hyvin monimutkainen ja laskentatehon rajallisuudesta johtuen, ilmastomalli ei pysty laskemaan kaikkia näitä prosesseja jokaiselle ilmastojärjestelmän kuutiometrille. Ja jotta kyettäisiin konstruoimaan lähes täydellinen ilmastomalli, siihen siis vaadittaisiin hila, joka kattaisi jokaisen vähintään kuutiometrin kokoisen tilavuuden ja vielä aikaan sidotun fluidin. Fluidin tulisi sisältää kaikki ilmastoon liittyvät parametrit. Jo pelkästään ilmakehän tilavuus on ~5.18 x 1019 m3, jolloin siihen tarvittaisiin:

~50000000000000000000 ilmastojärjestelmän kuutiota

Eli se tekisi tehtävästä äärimmäisen haasteellisen. Vaikka se tulisi joskus onnistumaan, tämän kaiken integrointi saattaisi tuottaa sellaisen määrään dataa, josta riittäisi materiaalia myös tuleville sukupolville hyvin pitkäksi aikaa.

Ohessa fluidin integraali

dF (t) = ∫(F / xn) dxn

Ilmastomallinnukset kuitenkin tuottavat dataa, joka on toistaiseksi riittänyt luomaan suhteellisen tarkkoja skenaarioita.

Mutta entä ilmastomallien matemaattinen puoli?

Navier Stokesin yhtälöt – miljoonan dollarin ongelma

Navier Stokes -yhtälöt edustavat universaaleja fysiikan lakeja, jotka voivat mallintaa mitä tahansa nestettä universumissa. Kuinka ketsuppi virtaa pullosta, kuinka kauas laava putoaa tulivuoren purkautuessa, jäätiköiden virtausmallit ja niiden muuttuminen, merivirrat, säämalli, saasteiden mallinnus, veren virtaus kehossamme, ilman virtaus esineiden ympärillä (aerodynamiikka), rakettien pakokaasut, tähtien kuumat kaasut ja kaikki muu nesteisiin liittyvä, Navier Stokes -yhtälöt toimivat taustalla. Nämä yhtälöt kertovat, kuinka nesteet liikkuvat ja käyttäytyvät. Se on kuin musta laatikko, joka voi ennustaa nesteen tulevaisuuden, kun olet syöttänyt vaaditut parametrit.

Navier Stokes -yhtälöiden yksinkertaistaminen

Vaikka ne saattavat aluksi näyttää hankalilta, ne ovat vain luonnon peruslakeja valepuvussa. Ensimmäinen yhtälö sanoo, että massa säilyy. Jos aloitamme tietyllä nestemassalla emmekä lisää tai vähennä massaa matkan varrella, meidän pitäisi saada sama massa lopussa. Ihan tavallinen luonnonlaki. Toinen yhtälö on Newtonin toinen laki. Massa kertaa kiihtyvyys on voima. Se ei varmasti näytä siltä. Mutta analysoidaanpa näiden kahden yhtälön kunkin ehdon fyysistä merkitystä.

Massan säilyminen – Ensimmäisessä yhtälössä u on nopeusvektori ja sen komponentit X-, Y- ja Z-suunnissa ovat vastaavasti u, v ja w. Nabla-symboli yksinkertaisesti käskee meitä erottamaan nopeuden tietyllä tavalla ja tämä antaa meille nollatuloksen. Nopeuden hajoamista edustaa alla oleva toinen yhtälö.

Liikemäärän säilyminen (Newtonin toinen laki) – Yhtälön vasen puoli on massa kertaa kiihtyvyys. Kun tarkastelemme nesteitä, otamme yleensä huomioon massa tilavuusyksikköä kohti (tiheys) pelkän massan sijaan. Hakasulkeen sisällä olevat kaksi termiä antavat meille kiihtyvyyden. Kiihtyvyys on nopeuden muutos ajan myötä (joka on annettu suluissa olevalla ensimmäisellä termillä). Toinen termi suluissa syntyy laskentamenettelystä (jonka jätän väliin yksinkertaisuuden vuoksi). Tämä termi kertoo meille nopeudesta ja suunnasta, johon neste liikkuu.

Yhtälön oikea puoli on kaikkien vaikuttavien voimien summa. Ensimmäinen ja toinen termi ovat sisäisiä voimia eli voimia, jotka syntyvät hiukkasten sisäisestä liikkeestä. Ensimmäinen termi liittyy paineeseen (joka on sisäinen voima pinta-alayksikköä kohti), kun taas toinen termi puhuu nesteen viskositeetin aiheuttamasta kitkasta.

Viskositeetti on nesteen virtausvastus. Kun nestekerrokset liikkuvat toistensa ohi, se tuottaa kitkaa. Suurempi kitka tarkoittaa, että neste on viskoosimpaa. Otetaan vaikkapa hunaja esimerkiksi. Se virtaa melko hitaasti sisäkerrostensa välisen kitkan vuoksi. Joten se on viskoosimpaa kuin esimerkiksi ilma. Kolmas termi on nesteeseen vaikuttava ulkoinen voima. Useimmissa tapauksissa pidämme sitä gravitaatiovoimana. Mutta se voi olla mikä tahansa voima yleensä. Esimerkiksi sähkömagneettista voimaa voidaan käyttää mallinnettaessa tähtiä, galakseja ja kuumia kaasuja avaruudessa (tämä yhdistää Navier Stokesin yhtälöt Maxwellin yhtälöihin ja synnyttää fysiikan haaran, jota kutsutaan magnetohydrodynamiikaksi).

Navier Stokes -yhtälöitä pidetään yhtenä fysiikan tyylikkäimmistä yhtälöjoukoista, koska ne perustuvat yksinkertaisiin periaatteisiin, jotka hallitsevat maailmankaikkeutta ja joista kaikki ovat yhtä mieltä, kuten massan säilymisestä ja Newtonin toisesta laista, mutta silti ne pystyvät mallintamaan kirjaimellisesti jokaista nestettä universumissa. Kun katsoo tarkasti, nämä yhtälöt on kirjoitettu hyvin yksinkertaisilla fysikaalisilla parametreilla, jotka kaikki varmasti tunnistavat ja ymmärtävät, kuten massa, nopeus, aika, paine ja viskositeetti.

Vielä kertauksena, mutta hieman eri muodossa

Kokoon puristumaton neste

Mikä sitten on ongelmana?

Nämä yhtälöt ovat olleet olemassa melkein kaksi vuosisataa, mutta ymmärrämme niistä edelleen suhteellisen vähän. Kun meillä on joukko yhtälöitä, odotamme seuraavan tapahtuvan:

  1. Ratkaisun pitäisi olla olemassa – yhtälöt pitäisi pystyä ratkaisemaan
  2. Ratkaisun tulee olla ainutlaatuinen – tietyt alkuolosuhteet huomioon ottaen ongelmaan tulisi saada ainutlaatuinen ratkaisu. Jos esimerkiksi kaksi henkilöä kaataa vettä säiliöön samalla tavalla pitäen kaikki parametrit (kaatonopeus, suunta, astian geometria ja mitat jne) identtisinä,  molempien pitäisi saada sama virtauskuvio. Molemmissa säiliöissä olevan veden tulee käyttäytyä tismalleen samalla tavalla. Jos toinen saa aikaiseksi ilmakuplia jossain kohdassa, toisen pitäisi saada ne myös tismalleen samassa kohdassa.
  3. Ratkaisun tulee olla tasainen – äärellisen muutoksen syötteessä tulisi tuottaa äärellinen muutos lähdössä. Sen ei pitäisi olla arvaamaton.

Valitettavasti Navier Stokesin yhtälöt eivät täytä mitään yllä mainituista ehdoista. Ei koko aikaa. Emme tiedä, onko ratkaisuja olemassa 3-ulotteisille tapauksille (eli onko meillä nesteen liikesuunnat X, Y ja Z). Ratkaisut eivät todellakaan ole ainutlaatuisia. Tämä voidaan ymmärtää intuitiivisesti. Kun kaadat vettä lasiin, se ei koskaan virtaa samalla tavalla kahdesti. Sillä on epäsäännöllinen ja näennäisesti satunnainen käyttäytyminen. Näiden yhtälöiden ratkaisut eivät aina ole tasaisia. Tietyissä pisteissä nesteen virtausta pitkin laskettu nopeus räjähtää äärettömään! Tätä ei tapahdu oikeassa elämässä. Myös yksi nesteiden tunnetuimmista ominaisuuksista on turbulenssi. Emme itse asiassa tiedä paljon turbulenssista. Et voi ennustaa, kuinka virtaus tulee olemaan myrskyisissä olosuhteissa.

Navier Stokes -yhtälöiden soveltaminen

Navier Stokes -yhtälöiden ratkaisemiseksi otamme avuksi olettamukset. Siinä yritetään yksinkertaistaa järjestelmää saadaksemme tuloksia, jotka eivät poikkea kovinkaan paljon tosielämän skenaariosta. Näillä yhtälöillä on osoitettu olevan ainutlaatuisia ratkaisuja 2-ulotteisille järjestelmille. Joten jos tarkastelemme vain nesteen 2D- kerrosta, päästään eroon nopeuden w-komponentista. Toinen yleisesti käytetty yksinkertaistus, jota käytetään laajalti sääkartoituksessa, on keskiarvotekniikka. 

Ei ole mahdollista mallintaa jokaista ilmakehän hiukkasta. Joten se jaetaan pienempiin alueisiin (esimerkiksi 1:een neliökilometriin) ja käytämme sitten Navier Stokes -yhtälöitä saadaksemme keskinopeuden jokaiselle alueelle.

Jotkut ihmiset uskovat, että tiedämme enemmän monimutkaisista tieteistä, kuten kvanttimekaniikasta, kuin tiedämme nesteistä. Jos koskaan keksisimme todisteita näille yhtälöille, pystyisimme selittämään turbulenssin ja kuinka neste käyttäytyy hiukkastasolla. Tämä antaisi meille lähes täydellisen hallinnan luonnosta, jota ei muuten voitaisi käsittää. 

Navier Stokes osittaisdifferentiaalijoukko on siis kuitenkin niin monimutkainen, ettei niille ole tiedossa tarkkaa ratkaisua (muutamia yksinkertaisia tapauksia lukuun ottamatta). Se on edelleen yksi suurimmista matemaattisista haasteista (ja miljoonan dollarin palkinto odottaa sitä, joka onnistuu todistamaan, että ratkaisu on aina olemassa). 

Tämän sijaan nämä yhtälöt ratkaistaan mallissa ”numeerisesti” mikä tarkoittaa, että ne on approksimoitu.

On esitetty myös väitteitä, että ilmastomallit olisivat täysin virheellisiä ja niillä ei voitaisi mallintaa luonnossa tapahtuvia todellisia ilmiöitä. Tästä herääkin välittömästi kysymys: suhteessa mihin?

+1
HannuSinivirta
Sitoutumaton Helsinki

(el. vanh. tut. / FMI)

Ilmoita asiaton viesti

Kiitos!

Ilmoitus asiattomasta sisällöstä on vastaanotettu