Stefan-Boltzmann laki johdettuna termodynamiikan ensimmäisestä pääsäännöstä ja vähän muutakin ilmastonmuutoksesta

Tämä toisto saattaa vaikuttaa jo väsyneeltä, mutta kaiken varalta ja niiden opittujen tietojen valossa, jota opiskelu ja oppikirjat ovat tarjonneet. 

Termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö kertoo, että energia ei häviä mihinkään, se muuttaa vain muotoaan. Energia siis säilyy. 

Lukijoiden ymmärtämisen helpottamiseksi, näitä seuraavia ”hieroglyfejä” ei välttämättä tarvitse käydä läpi, sillä niillä on todistettu termodynamiikan ensimmäisen pääsäännön yhteys Stefan-Boltzmannin lakiin, jonka mukaan mustan kappaleen säteilemä teho pinta-alaa kohti on suoraan verrannollinen lämpötilan neljänteen potenssiin jo kauan ennen 2000 -lukua. 

Mutta käydään ne nyt kuitenkin pikaisesti läpi, missä U = sisäinen energia, V = määrä, T = lämpötila, S = entropia, p = paine:

dU = TdS – pdV => dU/dV = TdS/dV – pdV/dV

(∂U/∂V)_T = T (∂S/∂V)_T – p, missä Maxwellin relaatio = (∂S/∂V)_T josta seuraa:

(∂U/∂V)_T = T (∂p/∂T)_V – p, missä energiatiheys = (∂U/∂V)_T jolloin energiatiheys (u_V) on:

u_V = T (∂p/∂T)_V – p

u_V = T (∂ (1/3 u_V) / ∂T)_V – 1/3 u_V

3 u_V = T (∂u_V / ∂T)_V – u_V, missä Fourier metodi:

3 u_V = T du_V / dT – u_V

4 u_V = T du_V/dT

du_V / u_V = 4 dT/T

Integroidaan molemmat puolet, jolloin saamme energiatiheyden ja lämpötilan:

∫ du_V / u_V = ∫ 4 dT/T

ln (u_V) = 4ln(T) + a

Ja lopulta eksponentti:

e ^{ln (u}_v⁾ = e ^(4ln(T) + a)

e ^{ln (u}_v⁾ = (e ^{ln (T)})⁴ e ^a, missä e ^a = b = vakio

Energiatiheys on:

u_V = (T)⁴ b

u_V = bT⁴, missä b on Stefan-Boltzmann vakio σ = 5.67 x 10^-8 Wm^-2 K^-4

T = lämpötila Kelvin-asteina (0K = -273.15°C)

Ja tästä kaikesta vähän helpommin:

u_V = I = σT⁴ 

Maapallon pintaa voidaan varsin hyvällä tarkkuudella pitää mustana kappaleena. Jos maapallolla ei olisi luonnollista kasvihuoneilmiötä, maapallon pinnan lämpösäteily pääsisi vapautumaan suoraan avaruuteen. Ja jos avaruuteen on poistuttava yhtä paljon lämpösäteilyä kuin auringonsäteilyä maapallolle absorboituu, voidaan ratkaista maapallon pintalämpötila:

T = (I / σ)^0.25

I = (S / 4) – albedo = (1371Wm^-2 / 4) – 30% ≈ 240Wm^-2

T = (240Wm^-2 / σ)^0.25 ≈ 255K (-18°C)

Näin ollen Maan pintalämpötila ilman luonnollista kasvihuoneilmiötä olisi tuo 255K (n. -18°C). Tämä lämpötila on sama kuin säteilylämpötila maapallomme huipulla ilmakehässä, jonka absorptiokyky (eli emissiokyky ε) on 1 kaikilla emittoivan infrapunasäteilyn aallonpituuksilla.  

Emissiivisyydellä (ε) on siis ratkaiseva rooli Maan pintalämpötilaa arvioitaessa. Tuo yo. yhtälö voidaan kirjoittaa myös muotoon:

dQ/dt = εσ 4πr² T⁴

Missä dQ/dt = auringosta tuleva energia

ε = maapallon emissiivisyys (satelliiteilla mitattu 0.6 – 1.0)

σ = Stegan-Boltzmann vakio

4πr²= maapallon pinta-ala

T = maapallon keskilämpötila

Tästä voidaan laskea maapallon keskimääräinen emissiivisyys, jos maapallon keskilämpötila olisi 15°C. Mutta ensin on laskettava auringosta tuleva teho (W):

E_SUN = E/A_UNIT x A = 1361Wm^-2 x π x (6371000m)² = 1.73 x 10¹⁷ W

(6371000m = maapallon keskim. tilavuus-säde) 

ε = (dQ/dt) / σ4πr² T⁴ = 1.73 x 10¹⁷ W/ σ x 4π x (6371000m)² x 288K⁴ = 0.869 ≈ 0.87

Emissiivisyys 0.87 asettuu hyvin lähelle maapallon keskimääräistä arvoa välille 0.6 – 1.0.

Vielä tarkistus:

T = ⁴√ (1.73 x 10¹⁷ W) / 0.87 x σ x 4π x (6371000m)² = 287.95K ≈ 14.95°C

Huomataan, että emissivisyyden ei tarvitse muuttua kuin hyvin vähän, sillä on jo suuri vaikutus maapallon keskimääräiseen pintalämpötilaan.

Maapallon pinnan keskilämpötilan mittaaminen maa-asemilta

Maapallon pinnan lämpötilan mittaamisessa on valtava haaste, koska se vaatisi vähintään jokaiselle neliökilometrille (ellei peräti neliömetrille) tarkan anturin, joista sitten voitaisiin laskea maapallon vuotuinen keskilämpötila useiden kymmenien vuosien ajalta, ja jotta saataisiin tarkin mahdollinen havainto keskilämpötilan muutoksesta. Toisaalta mittausasemien määrä on lisääntynyt räjähdysmäisesti sitten vuodesta 1850, jota voidaan pitää mittaushistorian alkupisteenä. Havainnot  tältä ajalta ovat tosin kovin hajanaisia ja siksi on jouduttu tekemään approksimaatioita. Nykyisin on kuitenkin käytössä ns. In Situ- järjestelmä. Se kattaa kaksi pääluokkaa: havainnot ja geospatiaalinen vertailutieto: ympäristömittaukset mittausasemilta, sääpallot, lentokoneiden, laivojen anturit, kellukkeet, kiinnityspaikat, tutkat, jokimittarit, ilmanlaatuanturit jne.

Satelliittimittauksiin siirtyminen

Ensimmäinen satelliitti joka antoi tarkan mittauksen maapallon ilmakehän lämpötilasta oli NASAn Nimbus III, joka laukaistiin vuonna 1969. Nykypäivän satelliitit pystyvät tekemään paljon kehittyneempiä mittauksia. Infrapunavalolle herkkiä SLSTR (Sea and Land Surface Temperature Radiometer) -ilmaisimia on jäähdytettävä tarkkojen mittausten tekemiseksi. 

Yksi tärkeimmistä tehtävistä on tarkistaa, että instrumentti on riittävän viileä ja että kalibroinnin referenssilähteet (kaksi mustaa kappaletta, joita pidetään kiinteässä lämpötilassa) toimivat oikein, jotta mittaustulos on luotettava.

Tässä kohtaa voitaisiin korostaa, että Stefan-Boltzmann laki että satelliittien referenssit noudattavat samaa mustan kappaleen sääntöä!

Satellittijärjestelmät toimivat spketrialueella (aallonpituus cm) ja tarjoavat sen edun, että ne tunkeutuvat tietyntyyppisiin aineisiin – mukaanlukien pilvet. Tämä ominaisuus tekee tutkasatellittijärjestelmistä ihanteellisia, pysyvään säästä riippumattomaan valvontaan. Lisäksi tutka-anturit ovat aktiivisia järjestelmiä: tutkalaite lähettää ensisijaisen signaalin, joka heijastuu kohteesta (esim. maan pinnasta). Tutkalaite tallentaa tämän kaiun ja sitä käytetään alueen kuvaamiseen. Etuna on, että se ei ole riippuvainen auringonvalosta; joten tätä tekniikkaa voidaan käyttää kuvien ottamiseen myös yöllä.

Infrapuna

IR -aallonpituudet ulottuvat n. 800nm:stä 1 mm:iin ja ovat edelleen jaoteltuja spektrin leveydeltä:

• Lyhytaaltoinen infrapuna (SWIR): 1.4 – 3.0μm
• Keskiaaltoinfrapuna (MWIR): 3.0 – 8μm
• Pitkäaaltoinen infrapuna (LWIR): 8 – 15μm
• Kaukoinfrapuna (FIR): 15μm – 1mm
• Lähi-infrapuna (NIR): 780nm – 1400nm

Kuten visuaalisen spketrin informaatio, IR-alueen informaatio saadaan puhtaasti passiivisella tavalla. Emissiossa tarkkailtava kohde säteilee ja tämä johtuu siitä, että maan kaikkien kappaleiden (ja myös muun universumin) lämpötila on absoluuttisen nollan (-273.15°C) yläpuolella ja tämä lämpötila on havaittavissa säteilynä. Maapallon lämpötilaa mitattaessa kiinnostavaa on erityisesti lämpöinfrapuna (TIR), jonka aallonpituus on 3 – 14μm mikä vastaa mustan kappaleen lämpötiloja välillä -60°C ja 700°C.

Mikä on lämpöinfrapuna

Termisen infrapunasäteilyn (TIR) alue kattaa sekä keskiaallon (MWIR) että pitkän aallon infrapunan (LWIR). TIR säteilee lämpimistä esineistä, kuten maan pinnasta – joillakin alueilla paljon lämpimämpänä kuin toisaalla. Mutta TIR -etäkartoitus voi tarjota olennaisia mittauksia pintaenergiavirroista ja lämpötilan muutoksista – olennaisena osana maapallon prosessien ymmärtämistä. Koska TIR on pohjimmiltaan mitta siitä, kuinka kuuma Maan pinta on tietyissä paikoissa.

Maapallon keskilämpötila on n. 15°C – lämpötilat vaihtelevat välillä -25°C ja 45°C. Keski- ja korkeilla leveysasteilla (LST = Land Surface Temperature) voi vaihdella ympäri vuoden. Päiväntasaajan alueilla on kuitenkin taipumus pysyä jatkuvasti lämpimänä, missä Etelämanner ja Grönlanti pysyvät luonnollisesti jatkuvasti kylminä.

LST (Land Surface Temperature)

Maan pinnan lämpötila johdetaan mitatusta lämpöinfrapuna- tai TIR -säteilystä. Se voidaan määritellä erilaisten anturien avulla, joilla on eri ominaisuuksia. Monimutkaisimmat järjestelmät ovat yleensä jäähdytettyjä. Siksi ne tarjoavat mahdollisuuden erittäin tarkkoihin suhteellisiin ja absoluuttisiin lämpötilamittauksiin (laboratorio-olosuhteissa mK:n alueelle asti). Tämän tyyppisiä ilmaisimia käytetään kaikissa yleisissä TIR- satelliittijärjestelmissä – mukaan lukien ASTER, MODIS, BIRD ja Landsat 7:n ETM+.

Jääydin-näytteet (BAS = British Antarctic Survey)

Ilmastonmuutosta monien tuhansien vuosien ajan rekonstruoivien jääydintutkijoiden saavuttaman menestyksen kulmakivi, on kyky mitata aiempia muutoksia sekä ilmakehän kasvihuonekaasupitoisuuksia, että lämpötiloja. Kaasun koostumuksen mittaus on suora: syvissä jääytimissä on muinaisen ilman pieniä kuplia, joita voidaan poimia ja analysoida massaspektrometreillä. Lämpötilaa sitä vastoin ei mitata suoraan, vaan se päätellään jääytimien sulaessa vapautuvien vesimolekyylien isotooppisesta koostumuksesta.

Vesi koostuu molekyyleistä, joissa on kaksi vetyatomia ja yksi happiatomi (H₂O ₎. Mutta se ei ole niin yksinkertaista, koska on olemassa useita hapen isotooppeja (kemiallisesti identtisiä atomeja, joissa on sama määrä protoneja, mutta eri määrä neutroneja ja siten massa) ja useita vedyn isotooppeja. Ilmastotutkimuksissa erityisen kiinnostavia isotooppeja ovat ¹⁶O (8 protonia ja 8 neutronia, jotka muodostavat 99.76% vedessä olevasta hapesta) ja ¹⁸O (8 protonia ja 10 neutronia) sekä ¹H (yksi protoni ja ei yhtään neutroneja, joka on 99.985% vedystä vedessä) ja ²H (tunnetaan myös nimellä deuterium (D), jossa on yksi protoni ja yksi neutroni). Kaikkia näitä isotooppeja kutsutaan ”stabiileiksi”, koska ne eivät hajoa radioaktiivisesti.

Käyttämällä herkkiä massaspektrometrejä, niillä kyetään mittaamaan sekä hapen että vedyn isotooppien suhde jääytimistä otetuissa näytteissä ja vertaamaan tulosta keskimääräisen valtameren vesistandardin isotooppisuhteeseen, joka tunnetaan nimellä SMOW (Standard Mean Ocean Water). Jääytimien vesimolekyylit ovat aina loppuneet raskaammista isotoopeista (eli isotoopeista, joissa on enemmän neutroneja) ja ero standardiin ilmaistaan joko ¹⁸O:na tai D:nä. 

Molemmat arvot kertovat olennaisesti samaa tarinaa – nimittäin, että ¹⁸O:ta ja D:tä on kylminä aikoina vähemmän kuin lämpiminä. Mutta miksi näin? Yksinkertaisesti sanottuna, raskaan isotoopin sisältävien vesimolekyylien haihduttaminen valtameren pinnalta vaatii enemmän energiaa, ja kun kostea ilma kulkeutuu napasuuntaan ja jäähtyy, raskaampia isotooppeja sisältävät vesimolekyylit menetetään ensisijaisesti sateen mukana. Molemmat prosessit, jotka tunnetaan fraktiointina, ovat lämpötilariippuvaisia.

Useilla paikoilla napa-aluetta on mitattu lähes lineaarinen suhde ¹⁸O:n ja D:n välillä useiden vuosien ajan otettujen nykyisten lumisateiden ja vuotuisen keskilämpötilan näytteissä. Tätä suhdetta voidaan käyttää isotooppisuhteen lämpömittarin kalibroimiseen, vaikka kalibrointi muuttuu hieman jääkauden ilmastoissa. Joko ¹⁸O tai D:n syvyys jääytimen pituudella paljastaa lämpötilan kausivaihtelut ja tutkijat voivat myös laskea vuotuisia kerroksia niiden päivämäärää varten. 

Etelämantereen jääpeitteen syvimmistä yli kolmen kilometrin syvyyteen ulottuvista jääytimistä voidaan selvästi nähdä jääkausien tasaisen sykkimisen noin 100 000 vuoden ajanjaksolla. Äskettäin on rekonstruoitu Etelämantereen Dome C -nimisen alueen ilmasto, joka kattaa viimeiset kolme neljäsosaa miljoonaa vuotta, ja on osoitettu seitsemän jääkautta, joista jokaisen välissä on lämmin interglasiaalinen ilmasto, kuten se, jossa nykyään elämme.

Lyhyt yhteenveto

Sekä teoreettinen tarkastelu että havainnot ovat johtaneet siihen, että ilmaston nykyinen lämpeneminen voi muuttua hyvin pienistä muutoksista ja tekijöistä, ja myös yllättävän nopeasti. Mutta onneksi luonnon korjaava dynamiikka estää (tosin hyvin hitaasti) pahimmat kolhut, joita me huomaamatta ja tahattomasti aiheutamme.

Stefanin lain merkityksestä astrofysiikassa

L = AσT⁴

L = luminositeetti (säteilyteho, kirkkaus)

A = pinta-ala

σ = Stefanin – Boltzmannin vakio (5.67 x 10^-8 Wm^-2 K^-4)

T = absoluuttinen lämpötila 0K (-273.15°C)

Mustan kappaleen kirkkaus on (L). Valoisuus on itse asiassa kohteen kokonaisenergiatuotannon mitta. Tavoite on ymmärtää sen taustalla oleva peruskäsite.

Miten aurinko voi olla musta kappale? 

Itse asiassa auringolla ei ole kiinteää pintaa. Joten mikä tahansa säteily joka aurinkoon osuu, hajoaa ja absorboituu, kunnes se häviää kokonaan. Tämä tekee siitä täydellisen absorboijan. Mutta aurinko ei ole täydellinen säteilijä, sen voi tarkistaa auringon spektristä, kuvia löytyy runsaasti alan kirjallisuudesta.  Joten aurinkoa voidaan pitää siis suunnilleen mustana kappaleena.

Auringon lämpötila

Tämän lain päätteli ensimmäisen kerran kokeellisesti Josef Stefan vuonna 1879. Ennen häntä toinen tiedemies nimeltä J. Soret suoritti kokeen, jossa hän otti lamellin (ohutlevyn) ja lämmitti sen noin 2 000 K:n lämpötilaan. Sitten hän piti lamellia etäisyydellä, jonka se alisti kulmaan, joka on sama kuin Auringolla.

Kokeestaan hän päätteli, että Auringon energiavuon tiheys (säteilytetty energia) on 29 kertaa lamellin tiheys. Stefan käytti näitä tietoja ja meni pidemmälle. Hän lisäsi toisen tekijän. Hän ennusti, että noin 1/3 Auringon energiasta absorboituu Maan ilmakehään. Todellinen energiavirta ei siis ole 29 kertaa, vaan 29 x 3/2 kertaa lamellin energiavirta.

Sitten hän liitti tämän arvon kaavaansa. Säteilevä energia (L) on 43.5 kertaa lamellin energiaa suurempi. Tämä tarkoittaa, että sen lämpötilan on oltava neljäs potenssijuuri 43.5 kertaa lamelliin verrattuna. Nyt (43.5)^1/4 = 2.57 ja siten saatu lopputulos oli, että Auringon pinnan lämpötila on 2.57 kertaa lamellin lämpötila. Tarkka vastaus on 5 700 K.

Tämä oli merkittävä tulos. Se on vain 1.3 % sivussa nykyisestä hyväksytystä arvosta 5 778 K. Stefan myös oletti ilmakehän absorboiman energian olevan 1/3 säteilyenergiasta. Myöhemmin kävi ilmi, että hänen oletuksensa oli myös oikea. Tämä oli ensimmäinen järkevä arvio auringon lämpötilasta ihmiskunnan historiassa. Ennen tätä arvot vaihtelivat 1 800 °C:sta jopa 13 000 000 °C:seen.

Stefanin laki astrofysiikassa

Stefanin laki oli ensimmäinen kaava, jolla arvioitiin Auringon lämpötila. Auringon lisäksi, lakia voidaan käyttää myös tähtien pintalämpötilan laskemiseen. Kun tiedämme tähden kirkkauden ja mitat, voimme liittää arvot ja ratkaista lämpötila.

Tämä valoisuuden kaava on hyödyllinen myös galaksien tähtimassojen laskemisessa, mikäli tiedämme Auringon kirkkauden tarkasti (minkä me tiedämme). Kun tiedämme galaksin tähtimassan, voimme löytää myös sen tähtien muodostumisnopeuden. Stefanin lailla on erittäin tärkeä suhde astrofysiikassa, joka voidaan johtaa termodynamiikasta ja myös Planckin laista.

Moneskohan kerta tämä mahtaa olla, kun tästä laista on spekuloitu, kiistelty ja kirjoitettu. Mutta edelleen se pitää pintansa.