Stefanin lain merkityksestä astrofysiikassa ja maapallo emitterinä

Jo tutuksi tullut matemaattinen muoto, mutta hieman soviteltuna

L = AσT⁴

L = luminositeetti (säteilyteho, kirkkaus)

A = pinta-ala

σ = Stefanin – Boltzmannin vakio (5.67 x 10^-8 Wm^-2 K^-4)

T = absoluuttinen lämpötila 0K (-273.15°C)

Tämän lain merkitys on yksinkertainen: Mustan kappaleen kaikilla aallonpituuksilla säteilemä kokonaisenergia pinta-ala- ja aikayksikköä kohti on verrannollinen sen absoluuttisen lämpötilan neljänteen potenssiin.

Mustan kappaleen kirkkaus on (L). Valoisuus on itse asiassa kohteen kokonaisenergiatuotannon mitta. Tavoite on ymmärtää sen taustalla oleva peruskäsite.

Musta kappale

Musta kappale on täydellinen valon absorboija ja emittoija. Se absorboi kaiken siihen osuvan valon. Täydellinen musta kappale on myös täydellinen jäähdytin. Yleensä mitä paremmin esine absorboi valoa, sitä paremmin se säteilee sitä. Joten täydellisen vaimentimen pitäisi olla tehokkain mahdollinen jäähdytin; mutta samaan aikaan, jos esine on täydellinen absorboija, se ei heijasta mitään säteilyä, joten se näyttää mustalta. Tällaisia esineitä kutsutaan siksi mustiksi kappaleiksi.

Miten aurinko voi olla musta kappale? 

Itse asiassa auringolla ei ole kiinteää pintaa. Joten mikä tahansa säteily joka aurinkoon osuu, hajoaa ja absorboituu, kunnes se häviää kokonaan. Tämä tekee siitä täydellisen absorboijan. Mutta aurinko ei ole täydellinen säteilijä, sen voi tarkistaa auringon spektristä. Kuvia löytyy runsaasti alan kirjallisuudesta.  Joten aurinkoa voidaan pitää kohtuullisen suurella tarkkuudella mustana kappaleena.

Auringon lämpötila

Tämän lain päätteli ensimmäisen kerran kokeellisesti Josef Stefan vuonna 1879. Ennen häntä toinen tiedemies nimeltä J. Soret suoritti kokeen, jossa hän otti lamellin (ohutlevyn) ja lämmitti sen noin 2 000 K:n lämpötilaan. Sitten hän kohdisti lamellin suoraan Aurinkoa kohti.

Ohessa linkki alkuperäiseen J . Soret paperiin vuodelta 1874:

https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/14786447508641272

Kokeestaan hän päätteli, että Auringon energiavuon tiheys (säteilytetty energia) on 29 kertaa lamellin tiheys. Stefan käytti näitä tietoja ja meni pidemmälle. Hän lisäsi toisen tekijän. Hän ennusti, että noin 1/3 Auringon energiasta absorboituu Maan ilmakehään. Todellinen energiavirta ei siis ole 29 kertaa, vaan 29 x 3/2 kertaa lamellin energiavirta.

(ks. kuva)

Sitten hän liitti tämän arvon kaavaansa. Säteilevä energia (L) on 43.5 kertaa lamellin energiaa suurempi. Tämä tarkoittaa, että sen lämpötilan on oltava neljäs potenssijuuri 43.5 kertaa lamelliin verrattuna. Nyt (43.5)^1/4 = 2.57 ja siten saatu lopputulos oli, että Auringon pinnan lämpötila on 2.57 kertaa lamellin lämpötila. Tarkka vastaus on:

5 700 K

Tämä oli merkittävä tulos. Se on vain 1.3 % sivussa nykyisestä hyväksytystä arvosta:

5 778 K

Stefan myös oletti ilmakehän absorboiman energian olevan 1/3 säteilyenergiasta. Myöhemmin kävi ilmi, että hänen oletuksensa oli myös oikea. Tämä oli ensimmäinen järkevä arvio auringon lämpötilasta ihmiskunnan historiassa. Ennen tätä arvot vaihtelivat 1 800 °C:sta jopa 13 000 000 °C:seen.

Stefanin laki astrofysiikassa

Stefanin laki oli ensimmäinen kaava, jolla arvioitiin Auringon lämpötila. Auringon lisäksi, lakia voidaan käyttää myös tähtien pintalämpötilan laskemiseen. Kun tiedämme tähden kirkkauden ja mitat, voimme liittää arvot ja ratkaista lämpötila.

Tämä valoisuuden kaava on hyödyllinen myös galaksien tähtimassojen laskemisessa, mikäli tiedämme Auringon kirkkauden tarkasti (minkä me tiedämme). Kun tiedämme galaksin tähtimassan, voimme löytää myös sen tähtien muodostumisnopeuden. Stefanin lailla on erittäin tärkeä suhde astrofysiikassa, joka voidaan johtaa termodynamiikasta ja myös Planckin laista.

Tämä on suora viiva, jonka gradientti on vakio (σ), sitä kutsutaan Stefan-Boltzmannin vakioksi:

(ks. graafi)

Ja hieman soviteltuna:

Emitterin eli tässä tapauksessa maapallon pinta-ala (A) tiedetään, joka on 4πr². Kun energiabalanssi noudattaa yhtälöä:

(A) voidaan korvata supistamalla molemmilta puolilta πr², jolloin saadaan:

Ja pintalämpötila T_e:

Kyllästymiseen asti, tätä lakia on spekuloitu, kiistelty ja kirjoiteltu. Mutta edelleen se pitää pintansa.