Paikallisuuden vaikutus epidemiamalleihin

Olen tässä jatkanut alkeisopintojani epidemioiden mallintamisessa, tarkoituksenani selkeyttää mallien tuloksia ja toimintaa lukijoille. Aiemmissa kirjoituksissani (ks. kirjoituksen lopussa) olen käyttänyt differentiaaliyhtälöihin perustuvia standardimalleja, jotka ovat varsin käytettyjä, mutta joissa näyttäisi ehkä olevan pieniä ongelmia. Ongelmia voivat tuottaa esimerkiksi oletus rakenteettomasta väestöstä, jossa kuka tahansa voi saada tartunnan keneltä tahansa, ja toisekseen satunnaisuuden puute. Tuoreimmassa harjoituksessani olen rakennellut hila- eli matriisimallia, joka mallintaa väestön kontaktiverkoston paikallisuutta. Näyttäisi, että differentiaaliyhtälöihin perustuvat mallit saattavat aliarvioida taudin tartuttavuutta ja samalla laumasuojakynnystä ja epidemian lopullista kokoa.

Tavanomaiset differentiaaliyhtälöihin perustuvat epidemiologiset mallit, kuten nähdäkseni THL:n käyttämät (lähteeni on mallinnuswebinaarin kalvot), eivät huomioi taudin etenemisen paikallisuutta. Lapissa asuva voi saada tartunnan yhtä todennäköisesti turkulaiselta kammiossaan istuvalta nörtiltä kuin omalta puolisoltaan, mikä on vähintään iljettävää. Tämä yksinkertaistettu malli silti varsin hyvin pätee siinä, miten tartuntataudit leviävät. Kun malli sovitetaan havaintoihin, antaa se melko hyvän yleiskuvan kehityksestä, vaikka yksityiskohdat vääristävätkin ennustetta jonkin verran.

Katsotaanpa, miten etäisyyttä huomioimaton malli käyttäytyy. Seuraava malli on laadittu karkeasti ottaen samoilla parametreilla kuin hallitsemattomasti etenevä COVID-19-epidemia; 3 vrk:n latenssivaihe, 14 vrk:n tartuttavuusvaihe. jossa tartuttavuus painottuu alkupäähän (keskimäärin 3 päivää) ja tartuttavuus R0=2,4. Olen poiminut luvun 2,4 on yhtenä THL:n esittämänä estimaattina. Väestön muodostaa 250×220 matriisi, jossa on siis kaikkiaan 55 000 yksilöä (aivan sattumoisin 1/100 Suomen väkiluvusta). Valkoiset ovat alttiita, keltaiset tartunnan saaneita, punaiset tartuttavia ja siniset parantuneita (immuuneja). (Toivottavasti GIF-animaatio näkyy selaimellasi.)

Tämän rajoittamattoman mallin kehityskäyrät ovat suurin piirtein identtiset sen kanssa, mitä differentiaaliyhtälömallini antoi (Puheenvuoro 23.4.2020), joskin aikaskaala menee hieman eri lailla, johtuen (uskoakseni) mm. tarttumisaikojen erilaisesta jakaumasta. Kuten differentiaaliyhtälömallissa, tartunnan saa rajoittamattomalla rytinällä mentäessä 88 % väestöstä eli laumasuoja suojaa vain 12 % väestöä. Tässä tartuttavien käyrä on korkeampi kuin aiemmassa mallissa, koska tartuttavuusajasta näkyvät täydet 14 vrk, ei keskimääräiset 3 vrk (tässäkin tartunnat painottuvat alkupäähän jolloin keskiarvo on 3 vrk).

Tällaiset läheisyyttä huomioimattomat mallit vääristävät esimerkiksi arvioita tartuttavuudesta, saaden sen vaikuttamaan ainakin hieman todellista alhaisemmalta. Miksi?

Todellisessa maailmassa sosiaaliset kontaktirakenteet vaikuttavat merkittävästi tartunnan saamiseen. Kun Eeva Ahtisaari sairastui koronavirukseen, hän ei tartuttanut asuinkumppaniaan Marttia samalla todennäköisyydellä kuin vaikkapa omassa linnassaan asuvaa Sauli Niinistöä. Kuitenkin, kun Martti Ahtisaari vuorostaan sairastui, hänen todennäköisyytensä tartuttaa Sauli Niinistö oli pieni, mutta korkeampi kuin todennäköisyys tartuttaa Eeva Ahtisaari, nolla, koska tämä oli jo sairaana. Martin kohdalla tartuttavuus oli laskenut huomattavasti pienemmäksi kuin mikä se oli Eevan kohdalla.

Toisaalta, kun ns. liikutaan kaupungilla, lähes kaikki kohtaamamme kontaktit ovat aina eri henkilöitä, jotka eivät todennäköisesti ole voineet saada tartuntaa samalta tartuttajalta aiemmin. Tartuntojen sosiaalinen etäisyys on lähempänä kaikki-yhteydessä-kaikkiin-tilannetta, joskin toki paikallistuen kaupungin sisällä tai muuten kontaktiryhmissä.

Tarkastellaan seuraavaksi läheisyyden huomoivaa mallia. Liioitellaan hieman ja sallitaan vain varsin läheiset tartuntakontaktit:

Tässä paikallisuus saa aikaan sen, että epidemia laajenee ”pallomaisena”. Pallon ”pinnalla” lähes puolet sairastuneen lähikontakteista on myös jo sairastunut tai parantunut, jolloin sairas ei kykene tartuttamaan heitä. Efektiivinen R putoaa laajenemispinnassa paikallisen saturoitumisen vuoksi nopeasti jopa lähes puoleen (R~1,3) ja leviäminen hidastuu matelemiseksi. Seuraavassa kuvassa mitatun R:n liukuvan keskiarvon kehitys (satunnainen prosessi aiheuttaa paljon vaihtelua yksilötasolla ja ensimäisen sairaan 4 tartutusta ovat vain sattumaa).

Lopullisen koon saavuttamiseen menee viisinkertaisesti, yli 800 päivää. Tämä ei kuitenkaan estä epidemiaa saavuttamasta lähes samaa loppukokoa 88 % (kun R0=2,4), siis huolimatta siitä, että epidemia etenee nyt huomattavasti hitaammin ja pitäisi alemmalla efektiivisellä R-luvulla peräti jäädä laumasuojakynnyksen 58 % tasolle. Tässä ei siis tarvitakaan sitä aktiivisten tapausten massan aiheuttamaa liikemomenttia laumasuojakynnyksen läpi puskemiseen, vaan laajeneminen jatkuu kontaktirakenteen vuoksi. Eksoottista! Yllättävää!

Paikallista saturoitumista on nähty Suomessa ja maailmalla monessa paikassa. Esimerkkejä on esimerkiksi hoivakoti Kiuruvedellä, jossa on kuollut kolmannes asukkaista, tai lihanjalostamo Indianassa, jossa peräti 40 % työntekijöistä on jo sairastunut.

Tämä saattaa tarkoittaa, että jotkin rajoitustoimet, kuten kokoontumis- ja liikkumisrajoitukset ja -suositukset, eivät välttämättä alenna vain R0-lukua vähentämällä kontakteja ventovieraisiin vaan saattavat vaikuttaa myös kontaktien paikallisuuteen. Tällöin rajoitustoimien aikaansaama paikallinen saturoituminen voi näkyä epidemian hallinnan aikana liian alhaisena R0-estimaattina, vaikuttamatta kuitenkaan mitenkään epidemian loppukokoon. Paikallisuuteen vaikuttavilla rajoitustoimilla ei voi pysäyttää epidemiaa laumasuojarajalle saavuttaessa. Tämän ongelman voi ajatella siten, että niin kauan kuin epidemiapallon pinnalla on vähänkin aktiviteettia, se jatkaa laajenemista aivan samaa vauhtia, kunnes täyttää koko väestön. Tämä on täysin eri tilanne kuin epäpaikallisessa mallissa, jossa laumasuoja oikeasti toimii.

Lisäongelma esim. THL:n malleille tulee siitä, että tartuttavuus R0 on arvioitu sovittamalla malli käänteisesti esimerkiksi kuolleisuuteen. Jos epidemian kehitys on kulkenut odotettua hitaammin paikallisen saturoitumisen vuoksi, on R0 tällöin aliarvioitu. Minä eikä ehkä kukaan muukaan emme tiedä kuinka paljon, koska se riippuu paikallisuuden määrästä, joka on tuntematon. Jos nyt ajatellaan, että se edellä putosi paikallisuuden vuoksi lähes puoleen, voisikin koronaviruksen todellinen R0 olla jopa 4,8 luokkaa. No 1/2 taitaa olla tuon paikallisuusvaikutuksen raja-arvo, joten todellisuudessa puhutaan vaikutuksesta jostain nollan ja puolen väliltä.

Koska tartunnat saturoituvat paikallisesti nopeammin kuin globaalisti, tartuttavuus näyttäytyy globaalisti alhaisemmalta kuin mitä se on paikallisesti. Koska laumasuojan syntymiseen vaadittava kynnys lasketaan R0:sta 1-1/R0, myös laumasuojakynnys tulee aliarvioitua. Jos analyysin tuottama, mutta saturoitumisen alentama R0 oli 2,4 ja todellinen onkin vaikkapa 3,2, ei laumasuoraja olekaan 58 % vaan 69 %. Mutta, koska tauti jälleen etenee momentilla, samalla myös taudin lopullinen koko on suurempi, peräti 95,3 %. Ylistetyn laumasuojan saisi silloin enää vain 4,7 % väestöstä. Heipparallaa. No okei, tuo R0=3,2 on ehkä sekin yläkanttiin, mutta – you get the picture, tuolla voi olla merkitystä.

Eikä nyt hätäännytä. Ilmiö voi alkaa vaikuttaa vasta erittäin tiukalla paikallisuudella ja tietenkin tosimaailman kontaktit ovat paljon monimutkaisempia kuin kaksiulotteisessa maailmassa. Vähänkään reippaamman kokoisella (hihasta vedetyllä) kontaktinaapurustolla meno näyttää aivan eriltä. Käydään kaupassa, kaffella Esson baarissa ja sellaista.

Epidemia etenee melkein samaa vauhtia kuin kaikki-kaikkien-kaa-mallissa:

Epidemian kulku on pidentynyt noin kolmanneksella, mutta R0 huitelee pienehköstä naapurustosta huolimatta 2,4:n paikkeilla:

Paikallisella saturoitumisella ei siten välttämättä ole suurta jos käytännössä mitään merkitystä, mutta se on jälleen tekijä, jota emme tiedä.

Summa summarum: taudin tartuttavuus, laumasuojaraja ja epidemian lopullinen koko on differentiaaliyhtälömalleissa – kuten myös THL:n – mahdollisesti aliarvioitu. Emme tiedä paljonko. Mallit ovat vain malleja ja ne voivat helposti johtaa harhaan erilaisten taustaoletusten vuoksi. Siksi jokainen malli on korkeintaan suuntaa-antava.

Tämä harjoitukseni saattoi tuottaa täysin virheellistä soopaa. Pahoittelen, jos se on täyttä hörhöilyä. Koodia ei ole tarkistettu ja olen saattanut tehdä ratkaisevia virheitä. Vastaavia hilamalleja on tehty maailmalla paljon lukemattomien tutkijoiden toimesta, enkä tunne tuota tutkimusalaa lainkaan. Tämä oli siis tosiaan vain alkeisharjoitus. Siitä huolimatta en ole nähnyt, että kukaan asiantunteva tutkija olisi nostanut näitä ongelmia julkisuuteen.

Kuitenkin, jos tällä on merkittävää relevanssia, olisi se uusi kipeä naula laumasuojastrategian arkkuun. Ainakin itse pelkään nyt entistä enemmän, mihin sellainen johtaisi. Jälki riskiryhmissä tulee olemaan surullista.

Harjoitusmallini prototyyppiasteella oleva lähdekoodi on vapaasti saatavilla osoitteessa: github.com/magi42/covid19-experiments.

Kirjoittaja on tietotekniikka-asiantuntija ja opiskellut kultaisessa nuoruudessaan biologista matematiikkaa sivuaineena. Kirjoittelee siksi pehmeitä Dunning-Kruger-vaikutus tapissaan.

Aiheesta aiemmin:

magi

Kirjoittajasta sanottua: "Grönroos edustaa turmiota puhtaimmillaan, ja kun hän avaa suunsa, sieltä pilkistää limainen ja myrkyllinen käärme." Kirjoittaja on turkulainen tietotekniikka-asiantuntija ja tieteen ja filosofian harrastaja, FM.

Ilmoita asiaton viesti

Kiitos!

Ilmoitus asiattomasta sisällöstä on vastaanotettu